El matem¨¢tico Jos¨¦ Antonio Prado-Bassas explica la Loter¨ªa de Navidad con el Sevilla-Betis como ejemplo

Este viernes 22 de diciembre se celebra el sorteo extraordinario de Navidad en el Teatro Real de Madrid, un evento que anuncia la llegada de la temporada festiva, trasciende las fronteras del azar y despierta una gran ilusi¨®n en la sociedad espa?ola.

Y es que todo vale para llamar a la suerte en el sorteo de la Loter¨ªa de Navidad. Desde pasar el d¨¦cimo por la tripa de una embarazada, hasta pedir al lotero que coja el boleto con la mano derecha para que no se contamine de la mala suerte o llevar encima una ramita de perejil. Multitud de costumbres en busca de un objetivo: ¡®El Gordo¡¯.

M¨¢s concretamente, el primer premio de la Loter¨ªa de Navidad 2023 es de 4 millones de euros a la serie, lo que equivale a 400.000 por d¨¦cimo o 20.000 por cada euro jugado. El segundo premio es de 1.250.000 euros por serie (125.000 por d¨¦cimo o 6.250 por euro jugado), y el tercero, de 500.000 euros por serie (50.000 por d¨¦cimo o 2.500 por euro jugado).

Sobre todo esto, y mucho m¨¢s, hemos hablado con Jos¨¦ Antonio Prado Bassas, profesor titular de universidad en el departamento de an¨¢lisis matem¨¢tico de la Universidad de Sevilla.

PREGUNTA. Desde una perspectiva matem¨¢tica, ?de qu¨¦ manera describir¨ªas la probabilidad de ganar un premio en el sorteo de la Loter¨ªa de Navidad?

RESPUESTA. La estad¨ªstica es la parte de las matem¨¢ticas (hoy en d¨ªa es una ciencia por s¨ª misma) que trata de estudiar las leyes del azar. Una de las formas m¨¢s simples de entender la probabilidad es lo que se conoce como Regla de Laplace (en honor al matem¨¢tico/estad¨ªstico franc¨¦s Pierre Simon Laplace). Esta regla nos dice que, para calcular la probabilidad de un suceso, hay que hacer una divisi¨®n: en el denominador ponemos la cantidad de casos posibles que puedan darse, mientras que en el numerador pondremos los casos que son favorables a nuestro suceso.

Si nuestro suceso es ganar a la Loter¨ªa de Navidad, los casos posibles son los 100.000 n¨²meros que entran en el bombo, mientras que los casos favorables ser¨¢ la cantidad de n¨²meros distintos que cada uno juegue. Si solo compramos un n¨²mero, nuestra probabilidad ser¨¢ de 1 entre 100.000, es decir, del 0,00001%.

Para que nos hagamos una idea, vamos a hacer un experimento. Un libro de unas 350 p¨¢ginas puede contener, aproximadamente, unas 100.000 palabras escritas. A dos personas diferentes le damos un ejemplar del libro y le decimos que subraye una palabra al azar. La probabilidad de que ambas personas elijan exactamente la misma palabra (en la misma p¨¢gina, misma l¨ªnea y posici¨®n) es id¨¦ntica a la de que te toque el Gordo de la Loter¨ªa de Navidad: una entre cien mil.

Ahora bien, si nuestro suceso es ganar alg¨²n premio, la cosa var¨ªa un poco. Los casos posibles siguen siendo 100.000, pero los favorables ser¨¢n todos los n¨²meros que tienen alg¨²n premio. Incluyendo los reintegros (con los que, en realidad, no hay ganancia de dinero, solo te devuelven ¡°lo metido¡±) en total hay 15.304 posibles premios. Eso nos da una probabilidad de 15.304 entre 100.000, es decir, un 15,3% aproximadamente. Ojo, en realidad ser¨ªa menos, porque estamos teniendo en cuenta los premios grandes (Gordo, segundo, terceros, cuartos, quintos), las pedreas y las terminaciones (anterior y posterior al gordo, segundo y tercero, centenas del gordo, segundo y tercero¡­) y con estas ¨²ltimas, igual un mismo n¨²mero consigue varios premios a la vez (en la pedrea, por ejemplo, puede salir el anterior al Gordo, o un n¨²mero de la misma centena que el segundo).

Para que nos hagamos una idea. Imaginemos que para los cuartos de final de la Copa del Rey se han clasificado Sevilla y Betis (junto con otros 6 equipos); la probabilidad de que haya un gran derbi Sevillano en cuartos ser¨ªa de 1 entre 7, es decir, un 14,9% que, aproximadamente, es la misma de que te toque algo a la Loter¨ªa de Navidad.

Si excluimos los reintegros de la cuenta, estar¨ªamos calculando la probabilidad de ganar algo de dinero. Ahora, habr¨ªa que quitar los 9999 reintegros de los casos favorables, lo que nos dar¨ªa una probabilidad de 5.305 entre 100.000, es decir, un 5,3%. Si se eligiese el campe¨®n de LaLiga EA Sports al azar entre los 20 equipos de Primera Divisi¨®n, la probabilidad de que ganara el C¨¢diz (o cualquier otro equipo) ser¨ªa del 5%.

Esta cuenta es para un n¨²mero nada m¨¢s. ?Y si jugamos 5 n¨²meros diferentes y queremos calcular la probabilidad de que te toque algo en alguno de ellos? Vamos a calcular la probabilidad contraria, es decir, la de que no te toque nada en ninguno de ellos.

Como juegas 5 n¨²meros, la probabilidad de que en el primero de ellos no te toque nada es de 84,7% (lo que le falta a 15,3% para llegar al 100%), o expresado en forma de n¨²mero decimal, ser¨ªa una probabilidad de 0,847. Esto con el primero, pero lo mismo con el segundo, el tercero y as¨ª hasta el quinto. Luego la probabilidad de que no te toque nada en ninguno de los 5 n¨²meros ser¨¢ 0,847¡Á0,847¡Á0,847¡Á0,847¡Á0,847=0,436, o lo que es lo mismo, un 43,6%. Eso significa que la probabilidad de que te toque algo en alguno de los 5 n¨²meros diferentes que juegas es del 56,4%.

Pero claro¡­ ?Cu¨¢nto te has gastado en esos 5 n¨²meros? La mayor¨ªa de los premios, 15.285 en total (todos menos 19: Gordo, Primero, Segundo, Tercero y sus anteriores y posteriores, los Cuartos y los Quintos), son de 5€ por euro apostado o reintegros, por lo que si has jugado a 5 n¨²meros diferentes tienes un 56,3% de posibilidades de ganar, como mucho, 5€ por euro apostado en cada n¨²mero. Si haces las cuentas, obtendr¨¢s que tienes una probabilidad de un 0,1% de que, jugando a 5 n¨²meros distintos, ganes un premio superior a 5€ por euro apostado (entre 48€ y 20.000€ por euro apostado). Esta es una probabilidad de 1 entre 1.000, o lo que es lo mismo, la misma probabilidad de encontrar el garbanzo negro del paquete de medio quilo. Un garbanzo pesa, m¨¢s o menos, medio gramo. Eso significa que en un paquete de medio quilo habr¨¢ unos 1000 garbanzos. Si en el paquete hay un garbanzo negro, la probabilidad de encontrarlo al echar todos los garbanzos en una olla y sacar uno al azar es justamente la misma de antes, 1 entre 1000.

?C¨®mo describir¨ªa la probabilidad de ganar el Gordo? Casi nula. ?Y la de ganar alg¨²n premio? Baja. ?Y la de ganar algo de dinero? Muy baja. ?Y la de ganar mucho dinero? Casi nula.

P. Lo cierto es que hay diferentes n¨²meros y combinaciones en los boletos de la Loter¨ªa, ?hay alguna estrategia matem¨¢tica que se pueda aplicar para aumentar las posibilidades de ganar, o es completamente aleatorio?

R. Con lo que he dicho antes de la Regla de Laplace (casos favorables entre casos posibles), la ¨²nica forma de aumentar nuestras posibilidades de ganar es jugando a cuantos m¨¢s n¨²meros diferentes mejor. Pero claro, eso implica gastarse m¨¢s dinero, cosa que no todo el mundo puede permitirse.

Si compras 98.117 n¨²meros diferentes, estar¨¢s totalmente seguro de que, como poco, te va a tocar una pedrea o el anterior o posterior de los tres primeros premios. Imaginemos que juegas 1€ a cada uno de esos n¨²meros, eso significa que necesitar¨ªas 98.117€; imaginemos que tienes la suerte de que te tocan todos los premios. Entonces habr¨¢s ganado la friolera de 70.000€, luego (sin contar lo que se lleva Hacienda) habr¨¢s perdido del orden de 28.000€. Vamos, que hay una estrategia, pero no compensa.

P. En t¨¦rminos de n¨²meros y estad¨ªsticas, ?hay alg¨²n patr¨®n interesante o curioso que hayas observado en los resultados pasados del sorteo de la Loter¨ªa de Navidad?

R. El sorteo de Loter¨ªa es puro azar. No hay patrones ni nada que se le parezca. Y si observamos algo curioso, ser¨¢ pura casualidad.

Por ejemplo, en 2012, dio la casualidad de que dos quintos premios salieron de forma consecutiva en las extracciones (Sorteo Extraordinario de Navidad: las matem¨¢ticas no han fallado, Naukas). Esta probabilidad, aunque baja, es del 8,3%. Eso significa, tal y como se cuenta all¨ª, que hay un 0,2% de posibilidades de que este hecho no ocurra en los 201 sorteos que se hab¨ªan celebrado hasta el a?o 2012.

Y es que, en muchos casos, si miramos un ¨²nico sorteo las cosas pueden parecernos extra?as, pero mirando a la larga, es m¨¢s normal que ocurra. Para pensar un poco en algo parecido, ?Cu¨¢l es la probabilidad de sacar dos caras seguidas si lanzamos una moneda dos veces? ?Y si la lanzamos 20 veces? ?A que nos parece ya m¨¢s f¨¢cil que salgan dos caras seguidas? Pues con la loter¨ªa pasa algo parecido, pero en lugar de cara o cruz, hay 100.000 n¨²meros en juego.

P. ?Puede explicar la matem¨¢tica por qu¨¦ algunas combinaciones de n¨²meros son m¨¢s populares entre los jugadores que otras?

R. No, ni las matem¨¢ticas ni la estad¨ªstica lo pueden explicar. Aqu¨ª entra en juego la psicolog¨ªa.

Por ejemplo, hay estudios de los a?os 70 del siglo XX que afirman que tenemos un sesgo que se llama Ilusi¨®n de Control, por el cual nos creemos capaces de controlar situaciones que, como el azar, escapan totalmente a nuestro control. Factores como que algo nos sea m¨¢s o menos familiar nos hacen creer que es m¨¢s probable que algo ocurra; quiz¨¢s por ello muchas personas buscan n¨²meros relacionados con fechas de nacimientos o de acontecimientos o que les trae alg¨²n recuerdo positivo.

Pero en el fondo no son m¨¢s que supersticiones personales (que no hacen mal a nadie, por supuesto).

Tambi¨¦n es cierto que solemos interpretar mal el azar y la probabilidad. Un ejemplo f¨¢cil de hacer en una reuni¨®n con varios amigos. Les pedimos que algunos de ellos lancen 10 veces una moneda y anoten en un papel lo que sale, mientras que otros se inventar¨¢n los resultados. Nosotros no sabremos qui¨¦n ha lanzado y qui¨¦n ha inventado, pero viendo lo que han escrito nos resultar¨¢ muy f¨¢cil averiguarlo. Los que se lo imaginan, raras veces pondr¨¢n m¨¢s de 3 veces seguidas cara o cruz, y casi seguro que nunca pondr¨¢n 4 caras o cruces seguidas. Sin embargo, al lanzar una moneda 10 veces, es pr¨¢cticamente seguro que saldr¨¢n o 3 caras o 3 cruces seguidas (un 98,2% de probabilidad) y pr¨¢cticamente la mitad de las veces (un 49,7%) veremos o 4 caras o 4 cruces seguidas. As¨ª que, si vemos que en una secuencia no hay 3 caras ni 3 cruces seguidas, casi seguro que esa es inventada, y ver 4 caras o cruces seguidas ser¨¢ indicio casi seguro de que es real.

Por ¨²ltimo, eso que hablan de los n¨²meros bonitos o feos es algo que, en el fondo, beneficia a Hacienda (que, en el fondo, es quien vende la Loter¨ªa). Y le beneficia porque muchos de los n¨²meros que la gente tacha de feos no se venden y eso equivale a que es Hacienda la que los juega. Si sale el Gordo en un n¨²mero feo que no se ha vendido, eso que Hacienda se ahorra de pagar.

P. ?Jugar con el mismo n¨²mero incrementa las probabilidades de ganar ¡®El Gordo¡¯?

R. Rotundamente no. ?C¨®mo qu¨¦ no? Pues no.

Cada sorteo es independiente del anterior. Eso significa que no guarde recuerdos de lo que ya ha pasado. As¨ª que el hecho de que el a?o pasado el Gordo fuese el 05.490, no significa que este a?o no pueda volver a pasar. Los bombos de la Loter¨ªa no tienen memoria.

?De d¨®nde puede venir esta idea de que, si jugamos siempre al mismo n¨²mero, tarde o temprano nos tocar¨¢? Pues de lo que se llama Ley de los Grandes N¨²meros. Esta ley nos dice que si repetimos un experimento muchas (pero muchas veces) la frecuencia con la que se produce un resultado ser¨¢ la probabilidad.

Pensemos en lanzar un dado y que jugamos siempre a que sale el 6. En cada tirada tendremos una probabilidad de 1 entre 6 (un 16,7%) de acertar. Da igual que sea la primera tirada que la trig¨¦simo sexta. La Ley de los Grades N¨²meros lo que nos dice es que a medida que lanzamos muchas veces el dado, lo normal o lo esperado es que la sexta parte de las veces (m¨¢s o menos) haya salido el 6. O sea, que si lanzamos 36 veces un dado, esperamos que alrededor de 6 veces salga el 6. Pero¡­ ?Qu¨¦ es alrededor de 6? ?4? ?5? ?6? ?7? ?2?... Nada impide que haya salido 2 veces el 6, o 20 veces o ??ninguna!! Esta Ley dice que cuantas m¨¢s veces lancemos el dado, m¨¢s f¨¢cil es que salga la sexta parte de las veces; pero no asegura nada.

Si lanzamos 6000 veces el dado, esperamos que alrededor de 1000 haya salido un 6 y claro, en alrededor de 1000 no parece que entre el 0. Pero para llegar a esta conclusi¨®n hemos tenido que repetir muchas (pero muchas muchas) veces el lanzamiento. Extrapolado a la Loter¨ªa de Navidad, como se celebra 1 vez al a?o, si jug¨¢ramos 100.000 a?os esperar¨ªamos que alrededor de 1 vez salga nuestro n¨²mero fetiche. Pero 0 s¨ª entra en alrededor de 1. SI jug¨¢ramos 10.000.000 de a?os seguidos al mismo n¨²mero, esperar¨ªamos que alrededor de 100 veces salga el nuestro como ganador, y ahora s¨ª que alrededor de 100 parece algo factible. Lo que no es factible es vivir 10.000.000 a?os. Dato curioso; los dinosaurios se extinguieron hace 66 millones de a?os, as¨ª que si hubi¨¦semos empezado a jugar en ese momento, esperar¨ªamos que nuestro n¨²mero haya salido alrededor de 6.600 veces.

Si pensamos en la Loter¨ªa Nacional (la de 1 vez por semana), pongamos (para redondear) que hay 50 sorteos al a?o. Eso significa que si jug¨¢ramos 2.000 a?os seguidos todas y cada una de las semanas (ser¨ªan 100.000 sorteos), esperar¨ªamos que alrededor de 1 vez haya salido nuestro n¨²mero. Con 20.000 a?os jugando (desde la prehistoria, m¨¢s o menos) esperar¨ªamos que alrededor de 10 veces nos toque la loter¨ªa.

Vamos, que si siempre nos falta tiempo para todo, para hacer una estrategia as¨ª, no nos dar¨ªa la vida (ni la nuestra ni la de todos nuestros antepasados).

Y para m¨¢s inri, esta estrategia (si es que se le puede llamar as¨ª) ser¨ªa id¨¦ntica si en lugar de jugar siempre al mismo n¨²mero, elegimos una secuencia de n¨²meros cualquiera y la vamos repitiendo constantemente. Por ejemplo, jugar 99.999 a?os al mismo n¨²mero es id¨¦ntico que jugar el primer a?o al n¨²mero 1, el segundo a?o al n¨²mero 2 y as¨ª sucesivamente, el 99.999? a?o al n¨²mero 99.999. O la secuencia de n¨²meros que nos d¨¦ la gana (repetidos o no).

P. Por ¨²ltimo, ?existe alguna relaci¨®n matem¨¢tica entre la cantidad de boletos vendidos y la probabilidad de que al menos uno de ellos resulte ganador en el Sorteo de Navidad?

R. S¨ª. La Regla de Laplace de la que ya hemos hablado, vuelve a nuestra ayuda. Cuantos m¨¢s boletos hayamos vendidos, m¨¢s casos favorables tendremos y m¨¢s alta ser¨¢ la probabilidad de que toque en nuestro local.

Por eso administraciones como la famosa La Bruja de Oro siempre sale con alg¨²n premio a?o tras a?o, porque vende much¨ªsimos n¨²meros diferentes tanto presencialmente como por internet.

Sigue toda la informaci¨®n de la Loter¨ªa de Navidad 2023

Este a?o en el Diario AS nos hemos propuesto darte toda la informaci¨®n sobre la Loter¨ªa de Navidad: